В данной работе метод обратной спектральной задачи применяет- ся для интегрирования нелинейного уравнения типа синус-Гордона в классе периодических бесконечнозонных функций. Вводится эво- люция спектральных данных периодического оператора Дирака, коэффициент которого является решением нелинейного уравне- ния типа синус-Гордона. Доказано разрешимость задачи Коши для бесконечной системы диффуренциалных уравнений Дубровина в классе два раза неприрывно диффуренцируемых периодических бесконечнозонных функций. Показано, что сумма равномерно схо- дящегося функционального ряда построенного с помощью реше- ния системы уравнений Дубровина и формула первого следа дей- ствительно удовлетворяет уравнения типа синус-Гордона

In this paper, the inverse spectral problem method is used to integrate a nonlinear equation of the sine-Gordon type in the class of periodic infinite-gap functions. The evolution of the spectral data of the periodic Dirac operator is introduced, the coefficient of which is the solution of a nonlinear equation of the sine-Gordon type. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin differential equations in the class of twice continuously differentiable periodic infinite-gap functions is proved. It is shown that the sum of a uniformly convergent functional series constructed by solving the system of Dubrovin’s equations and the first trace formula indeed satisfies equations of the sine-Gordon type.