В работе рассматривается задача Коши для параболического уравнения (типа диффузии) в римановом многообразии M ограниченной геометрии. Данная работа посвящена выводу формулы, которая содержит в качестве параметров коэффициенты уравнения и начальное условие и дает (для каждого натурального числа n, времени t > 0, точки x M) функции un(t, x), аппроксимирующие решение u(t, x) задачи Коши в Lp-норме: limn un(t, ·) u(t, ·) Lp(M) = 0. Эту работу можно рассматривать как следующий логический шаг после [1], где такого рода формулы были опубликованы впервые, но в пространстве непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности. В данной работе мы обобщаем область применимости формул на пространство Lp: решения принадлежат Lp(M), а аппроксимации сходятся в Lp(M). Представленный метод аппроксимации основан на теореме Чернова [2],[3].

In this work we consider Cauchy problem for the parabolic (diffusion type) equation in Riemannian manifold M of bounded geometry. This work is devoted to deriving of a formula that contains coefficients of the equation and initial condition as parameters, and provides (for each natural number n, time t > 0, point x ∈ M) functions un(t, x) that approximate the solution u(t, x) of the Cauchy problem in Lp-norm: limn→∞ ∥un(t, ·)−u(t, ·)∥Lp(M) = 0. This work may be considered as the next logical step after [1] where that type of formulas were published at the first time, but in space of continuous functions that vanish at infinity. In this work we generalize the area of applicability of the formulas to Lp space: solutions belong to Lp(M) and approximations converge in Lp(M). The presented method of approximation is based on the Chernoff theorem [2],[3].